kei07_blog

~日常からマニアックなものまで~

残念でしたー

落ちてました

 

準備時間が少なかったことや、全然基礎が固まっていなかったりなど反省点がとても多いです。

 

次、チャレンジできる機会があれば、リベンジということで数学検定1級を受けたいと思います。(多分、来年の4月の個人なしで、代わりに基本情報技術者試験を受けることになりそう?)

 

 

 

2017年10月29日は第310回数学検定1級でした

 

日付が変わっていますが、受けた方はお疲れさまでした。

 

 

僕は初めて、数学検定1級を受けました。

 

自分の現在の数学力はどのぐらいなのか、

また、1ヶ月の準備だけでどれぐらい解けるか、

などなど色々知れました。

 

 

 

結果ですが、多分不合格でしょう。(正式な結果は3週間後、専用サイトで見れるそうです)

 

出題内容は掲載することが禁じられていますので、お見せ出来ませんが、

 

 

 

とりあえず、クソ難しかった。(言葉が悪い)

 

 

 

 

話は変わって、1ヶ月の間に勉強したことは、

数学検定対策の本2冊をやっていました。

 

2冊を軽く通しでやってみて、分からないとこがあれば、

持っている参考書などで調べて勉強していました。

 

 

数学検定の問題は、微分積分線形代数、確率統計の3つが重要そうだと思い、

この3つを重点的にやっていました。

 

 

自分の思っている以上に知らないこと、覚えていないことがあり、正直落ちるかもしれないと初日から思っていました。

 

 

それでも勉強していくうちに新しいことがたくさん学べたので、

非常に楽しい1ヶ月だったことは間違いありません。

 

 

 

ところで、2週間ぐらい前に大学で数学を教えてもらっている教授とお話しして、

そろそろルベーグ積分やりますか?と言われたので、

11月に入ったらルベーグ積分をやるかもしれません。(気分が乗ればここに書きます)

数学検定1級を受けます

タイトル通り、受けます。

 

今年の10月29日、ちょうど1か月後ですね。

 

頑張ります。

 

 

数学検定1級となると、2次試験よりも1次試験のほうが合格するのが厳しいらしいので、最低でも2次試験合格を目指したいと思います。

 

 

なぜ受けることになったかというと、単純に課題やらなんやらでストレスが多いので、息抜きということで受けてみようと思いました。

 

どっちみちいつか受けようと思っていました。

 

あわよくば就職の時に書けると・・・。

(就職意識するなら2級とか準1級でもよさそう。)

 

 

とりあえずあと1ヶ月ですが、これから試験対策していく感じです。

 

 

一応、結構前に過去問題集は買っているので、それをひたすら解いてみて、

 

苦手な部分(ほぼ線形代数)を克服していこうと考えています。

 

 

余裕があればここに何か残したいなと考えています。

 

関数の連続性についてのとても分かりやすい動画を発見した

タイトル通り、分かりやすい動画を発見しました。

 

www.youtube.com

慶応義塾大学の坂内先生です。

 

 

僕自身、εδ論法が少し苦手でしたが、この動画を見てから理解が進みました。

 

 

 

やっぱり図って良いですね。

正項級数とダランベールの判定法

 

 

マセマ社の微分積分のキャンパスゼミ(改訂3)の正項級数のとこを読んでいて、

23ページに以下のような問題がありました。

 

 

次の正項級数の収束・発散を判定せよ。

\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{P^n}{n}(ただし、Pは、P\gt0かつP\neq1をみたす定数)

 

 

この問題はダランベールの判定法を用いれば簡単に解けてしまいます。

 

 

 

 

まず、ダランベールの判定法について記述します。

 

始めに、\displaystyle a_n\gt0(n=1,2,・・・)というような数列の無限和について考えます。(重要!)

 

ちなみに\displaystyle a_n\lt0(n=1,2,・・・)という場合はどうなるんだ?ってとこですが、\displaystyle |a_n|の無限和について考えてあげれば、正負関係なしに進められます。

 

 

正項級数\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_nについて、

\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n}=r のとき、rは、\inftyでもかまわない。

(i)0 \le r \lt 1 ならば、正項級数\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_nは収束する。

 (ii)1 \lt r ならば、正項級数\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_nは発散する。

 

面倒くさいので証明は省略します。(気分が乗ったら載せるかも?)

 

 

とりあえず問題に戻り考えます。

まず、P^nがあるのでダランベールの判定法を使えるかもしれないと大抵思います。(実は他にもいろんな判定法があります。ここでは省略。)

 

最初にa_n = \frac{P^n}{n}(n=1,2,・・・)とします。

ここで、ダランベールの判定法を使いたいので、条件を確認します。

ダランベールの判定法では、\displaystyle a_n\gt0(n=1,2,・・・)が成り立たなければなりません。

 

ここでa_n\frac{P^n}{n}(n=1,2,・・・)となっていて、分母のnは明らかに正ですね。

さらに分子のPP\gt0かつP\neq1をみたす定数である、と問題に書かれているので正ですね。

 

つまり、a_n = \frac{P^n}{n}(n=1,2,・・・)ダランベールの判定法を使うための条件である\displaystyle a_n\gt0(n=1,2,・・・)を満たしています。

これでダランベールの判定法を使えます!

 

 

ダランベールの判定法が使えるので、\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} に代入してみましょう。

 

\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{P^{n+1}}{n+1}}{\frac{P^n}{n}}

 

分子分母にn(n+1)をかけると、

\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{P^{n+1}}{P^n} \frac{n}{n+1} = \lim_{n \to \infty} P \frac{n}{n+1}

 

Pは定数なので前に出ます。さらに分子分母をnで割ると、

 

\displaystyle P \lim_{n \to \infty} \frac{1}{1+\frac{1}{n}} = P

 

なんとPだけになりました。

これで終わり・・・。だと思ったらダメです。

 

この正項級数Pの値によって収束するか発散するかが決まります。

 

つまり、場合分けが必要!

 

答えを示すと、

 

(i)0 \le P \lt 1 のとき、正項級数は収束する。

(ii)1 \lt Pのとき、正項級数は発散する。

 

 

・この問題は、ダランベールの判定法の条件である\displaystyle a_n\gt0(n=1,2,・・・)を最初に考えること。

\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} に代入し計算すること。

・最後にPで場合分けすること。

 

この一連の動作がダランベールの判定法を理解するためにとても重要であると思い、紹介しました。